已知函数f(x)=cos(wx+φ）是r上奇函数（w＞0,π＜φ＜2π）,他的一条对称轴方程x=3π/4,且函数在闭区间0,π/2上是单调函数,求函数解析式

Question

已知函数f(x)=cos(wx+φ）是r上奇函数（w＞0,π＜φ＜2π）,他的一条对称轴方程x=3π/4,且函数在闭区间
0,π/2上是单调函数,求函数解析式

Answer 1

函数f(x)=cos(wx+φ）是R上奇函数,
则f(-x)=-f(x),
即cos(-wx+φ）=- cos(wx+φ）,
展开得：cosφcoswx +sinφsinwx=-( cosφcoswx -sinφsinwx)
所以2cosφcoswx=0,cosφ=0,
因为π＜φ＜2π,所以φ=3π/2.
∴f(x)=cos(wx+3π/2）=sin wx.
因为它的一条对称轴方程x=3π/4,对称轴必过最高点或最低点,
所以f(3π/4)=±1,
即sin (3πw /4)=±1,
3πw /4=kπ+π/2,k∈Z.
W=(4k+2)/3,k∈Z.
因为函数在闭区间[0,π/2]上是单调函数,
所以[0,π/2]不超过半个周期,即函数的周期≥π,
即2π/w≥π,w≤2.
∵W=(4k+2)/3,k∈Z.
∴k=0或1时,W=2/3或2.
∴函数解析式为f(x)=sin2x/3或f(x)=sin2x.