已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)＝(a+bx)ex．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x

Question

已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)＝(a+(b)/(x)) ex．
（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；
（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．

Answer 1

（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+(1)/(x)）e^x，
则f′（x）=（x+1）（2x-1）•(ex)/(x2)，
由f′（x）＞0，得x＞(1)/(2)，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜(1)/(2)，此时函数单调递减，
则当x=(1)/(2)时，f（x）取得极小值，f（(1)/(2)）=4√(e)．
（2）f′（x）=（ax²+bx-b）•(ex)/(x2)，
设g（x）=ax²+bx-b，
①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-(b)/(2a)＜0，且g（1）=a＞0，
∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，
又(ex)/(x2)＞0，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，
则

(a+(b)/(2))e2＜0

(a−(b)/(2))e−2＜e−2

，即

2a+b＜0

2a−b＜2

，（•），
∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即

g(1)＝a＞0

g(2)＝4a+b≥0

，（••），
在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜−(b)/(2a)≤2，
且g（−(b)/(2a)）=(−4ab−b2)/(4a)＝−b((4a+b)/(4a))≥0恒成立，
综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为

a＞0，b＜0

2a+b＜0

4a+b≥0

2a−b＜2

，
则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（(1)/(3)，−(4)/(3)），B（(1)/(2)，−1），C（1，0），
则形成的平面区域的面积S=S_△OAC-S_△OBC=(1)/(2)((4)/(3)−1)＝(1)/(6)．
即△OAB的面积为(1)/(6)．