已知函数f（x）=（ax-1）ex，a∈R（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）因为f'（x）=（ax+a-1）e^x，
所以当a=1时，f'（x）=xe^x，
令f'（x）=0，则x=0，
所以f（x），f'（x）的变化情况如下表：

所以x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1．
（II）因为f'（x）=（ax+a-1）e^x，函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，
所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立．
又e^x＞0，所以只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
解法一：设g（x）=ax+a-1，则要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
只要

g(0)≥0

g(1)≥0

成立，
即

a-1≥0

2a-1≥0

，解得a≥1．
解法二：要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
因为x＞0，所以a≥(1)/(x+1)对x∈（0，1）恒成立，
因为函数g(x)=(1)/(x+1)在（0，1）上单调递减，
所以只要a≥g(0)=(1)/(0+1)=1．