已知函数f（x）=3x-13|x|．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）判断x＞0时，f（x）的单调性；（3）若3tf（t）+mf（t）≥0对于t∈[12，1]恒成立，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=3^x-(1)/(3|x|)．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）判断x＞0时，f（x）的单调性；
（3）若3^tf（t）+mf（t）≥0对于t∈[(1)/(2)，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当x≤0时，f（x）=3x−(1)/(3−x)＝3x−3x＝0，所以f（x）=2无解；
当x＞0时，f（x）=3x−(1)/(3x)，令3x−(1)/(3x)=2得（3^x）²-2•3^x-1=0，解得3x＝1±√(2)（负值舍去），
故x=log3(1+√(2))．
（2）∵y=3^x在（0，+∞）上递增，y＝(1)/(3x)在（0，+∞）上递减，所以f（x）=3x−(1)/(3x)在（0，+∞）上单调递增．
（3）因为t∈[(1)/(2)，1]，所以3t≥√(3)，(1)/(3t)≤(1)/(√(3))，故3t−(1)/(3t)＞0．
由3^tf（2t）+mf（t）≥0得：3t(32t−(1)/(32t))+m(3t−(1)/(3t))≥0，
即3t(3t+(1)/(3t))+m≥0，即m≥-3^2t-1，令g（t）=-3^2t-1，则g（t）在[(1)/(2)，1]上递减，所以g（t）_max=-4．
则满足题意的m的范围是m≥-4．