根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．

Question

根据函数单调性的定义，证明函数 f ( x )=－ x ³ +1在(－∞，+∞)上是减函数．

Answer 1

证明见解析．

本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取 x ₁ ， x ₂ 且 x ₁ <x ₂                            ——1分
则 f ( x ₂ ) － f ( x ₁ ) = = ( x ₁ － x ₂ ) ( )                    ——3分
∵ x ₁ <x ₂ ，∴ x ₁ －x ₂ < 0．                                           ——4分
当 x ₁ x ₂ <0时，有 = ( x ₁ + x ₂ ) ² － x ₁ x ₂ >0；                     ——6分
当 x ₁ x ₂ ≥0时，有 >0；
∴ f ( x ₂ )－ f ( x ₁ )= ( x ₁ － x ₂ )( )<0．                         ——8分
即  f ( x ₂ ) < f ( x ₁ )，所以，函数 f ( x )=－ x ₃ +1在(－∞，+∞)上是减函数．     ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取 x ₁ ， x ₂ ，且 x ₁ < x ₂ ，                      ——1分
则 f ( x ₂ )－ f ( x ₁ )= x － x = ( x ₁ －x ₂ ) ( )．                  ——3分
∵ x ₁ <x ₂ ，∴ x ₁ －x ₂ < 0．                                          ——4分
∵ x ₁ ， x ₂ 不同时为零，∴ x ＋ x >0．
又∵ x ＋ x > ( x ＋ x )≥| x ₁ x ₂ |≥－ x ₁ x _{2 。} ∴ >0，
∴  f ( x ₂ )－ f ( x ₁ ) = ( x ₁ －x ₂ ) ( )<0．                     ——8分
即 f ( x ₂ ) < f ( x ₁ )．所以，函数 f ( x )=－ x ³ +1在(－∞，+∞)上是减函数．       ——10分