已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a＞1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞）x1≠x2，有。

Question

已知函数f（x）= x ² -ax+（a-1）lnx，a＞1。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a＜5，则对任意x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞）x ₁ ≠x ₂ ，有 。

Answer 1

已知函数f（x）= x ² -ax+（a-1）lnx，a＞1。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a＜5，则对任意x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞）x ₁ ≠x ₂ ，有 。

（1） 的定义域为 。

（i）若 ，即 ，则
故 在 单调增加。
（ii）若 ，而 ，故 ，则当 时，
当 及 时，
故f（x）在 单调减少，在 单调增加。
（iii）若 ，即 ，同理可得f（x）在 单调减少，在 单调增加。
（2）考虑函数

则
由于1＜a＜5，故 ，即g（x）在（4，+∞）单调增加，
从而当 时有 ，
即 ，故 ，
当 时，有 。