已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.

Question

已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .

Answer 1

已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .

（Ⅰ）分类讨论得到单调性      （Ⅱ）构造函数用导数的方法证明.      

试题分析：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )，   
当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0,+ )单调增加；
当a≤－1时， ＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少；
当－1＜a＜0时，令 ＝0,解得x= .当x∈(0, )时, ＞0；
x∈( ，+ )时， ＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少   
(Ⅱ)不妨设x ₁ ≥x ₂ .由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）单调减少.
所以 等价于 ≥4x ₁ －4x ₂ ,
即f(x ₂ )+ 4x ₂ ≥f(x ₁ )+ 4x ₁ .         
令g(x)=f(x)+4x,则 +4＝ .               
于是 ≤ ＝ ≤0.
从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x ₁ ) ≤g(x ₂ )，即　f(x ₁ )+ 4x ₁ ≤f(x ₂ )+ 4x ₂ ，
故对任意x ₁ ,x ₂ ∈(0,+ ) ， .
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属难题．