对于函数f（x）=a-22x+1（a∈R）（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？（2）证明函数f（x）的单调性．

Question

对于函数f（x）=a-(2)/(2x+1)（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（2）证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）若函数f（x）=a-(2)/(2x+1)为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
解得：a=1，
当a=1时，f（x）=1-(2)/(2x+1)=(2x−1)/(2x+1)满足f（-x）=-f（x），
故存在a=1使函数f（x）为奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=a-(2)/(2x1+1)-（a-(2)/(2x2+1)）
=(2)/(2x2+1)-(2)/(2x1+1)=(2(2x1−2x2))/((2x1+1)(2x2+1))＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）为增函数