已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．（Ⅱ）f（x）-=，令g（x）=xlnx-a（x2-1），（x≥1），g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．

（本小题满分12分）（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．…（4分）（Ⅱ）f（x）-=，令g（x）=xlnx-a（x2-1），（x≥1），g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，，…（6分）①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）-不符合题意．…（8分）②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）递增，从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）-不符合题意．…（10分）③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，从而g9x）在[1，+∞）递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-≤0，综上所述，a的取值范围是[）．…（12分）
点评：
本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．