早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)(1)判断并证明函数的单调性;(2)若函数为f(x)奇函数,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,若对任意的t∈R,不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0恒成立,求实数
题目详情
已知函数f(x)=a−
(a∈R)
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数为f(x)奇函数,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,若对任意的t∈R,不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0恒成立,求实数k的取值范围.
2 |
2x+1 |
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数为f(x)奇函数,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,若对任意的t∈R,不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0恒成立,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)为R上的增函数.证明如下:…(1分)
证明:函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,设x1<x2,
则f(x1)−f(x2)=(a−
)−(a−
)=
−
=
.…(3分)
因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,所以2x1−2x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)为R上的增函数.…(4分)
(2)∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=a-1=0,∴a=1.…(6分)
当a=1时,f(x)=1−
=
.
∴f(-x)=
=
=-
=-f(x),…(8分)
此时,f(x)为奇函数,满足题意,所以,a=1.…(8分)
(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f(t2+2)>f(tk-t2)对任意的t∈R恒成立.…(9分).
又因为在(-∞,+∞)上为增函数,所以等价于不等式t2+2>tk-t2对任意的t∈R恒成立,即不等式2t2-kt+2>0对任意的t∈R恒成立.…(10分)
所以必须有△=k2-16<0,即-4<k<4,所以实数k的取值范围{k|-4<k<4}.…(12分)
证明:函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,设x1<x2,
则f(x1)−f(x2)=(a−
2 |
2x1+1 |
2 |
2x2+1 |
2 |
2x2+1 |
2 |
2x1+1 |
2(2x1−2x2) |
(2x2+1)(2x1+1) |
因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,所以2x1−2x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)为R上的增函数.…(4分)
(2)∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=a-1=0,∴a=1.…(6分)
当a=1时,f(x)=1−
2 |
2x+1 |
2x−1 |
2x+1 |
∴f(-x)=
2−x−1 |
2−x+1 |
1−2x |
1+2x |
2x−1 |
2x+1 |
此时,f(x)为奇函数,满足题意,所以,a=1.…(8分)
(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f(t2+2)>f(tk-t2)对任意的t∈R恒成立.…(9分).
又因为在(-∞,+∞)上为增函数,所以等价于不等式t2+2>tk-t2对任意的t∈R恒成立,即不等式2t2-kt+2>0对任意的t∈R恒成立.…(10分)
所以必须有△=k2-16<0,即-4<k<4,所以实数k的取值范围{k|-4<k<4}.…(12分)
看了 已知函数f(x)=a−22x...的网友还看了以下:
已知定义在R上的函数f(x)=b-a的x次方/a的x次方+1(a>0,a不等于1)是奇函数.求b的 2020-05-16 …
画出函数y=-2x+5并利用图像回答下列问题求x=-1时y的值求使y=-15的x的值求方程-2x+ 2020-06-06 …
已知函数fx=m+2/2x+1是奇函数1求m的值2求fx的值域3判断fx的单调性已知函数fx=m+ 2020-06-06 …
若代数式(x-1)/2+(2x+1)/6与(x-1)/3+1的值相等,求x的值.已知方程4x+2m 2020-07-01 …
极值点、拐点、驻点的表示方法的区别?是不是极值点、驻点是表示为x=*,拐点表示为(*,另外:判断极 2020-07-31 …
写出“如果张某不努力学习,那么张某不能取得优异成绩”具有矛盾关系的联言判断和具有等值关系的选言判断要 2020-11-26 …
有些不是鱼的动物外表像鱼.——与以上判断等值的是:A.有些外表像鱼的动物不是鱼B.有些外表像有些不是 2020-11-29 …
行测:“有些不是鱼的动物外表像鱼”与哪项等值52.有些不是鱼的动物外表像鱼与以上判断等值的是()A. 2020-11-29 …
已知函数fx等于sin(a+b)+acos(a+2b)其中a€®,b€(-派\2.派/2)当a=根号 2020-12-08 …
已知定义域为的函数是奇函数,(1)求的值;(2)判断并证明函数的单调性;(3)若对任意的,不等式恒成 2021-01-23 …