已知函数f（x）=cos（2x-π3）+sin2x-cos2x，（1）求f（x）的对称轴方程；（2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；（3）若x∈[-π12，π2]，设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的

Question

已知函数f（x）=cos（2x-(π)/(3)）+sin²x-cos²x，
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；
（3）若x∈[-(π)/(12)，(π)/(2)]，设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

（1）f(x)＝(1)/(2)cos2x+(√(3))/(2)sin2x−cos2x＝(√(3))/(2)sin2x−(1)/(2)cos2x＝sin(2x−(π)/(6))
…（2分）
令2x−(π)/(6)＝(π)/(2)+kπ，k∈Z，得x＝(π)/(3)+(kπ)/(2)，k∈Z，
∴所求函数对称轴方程为x＝(π)/(3)+(kπ)/(2)，k∈Z…（4分）
（2）列表

2x−(π)/(6)	0	(π)/(2)	π	(3π)/(2)	2π
x	(π)/(12)	(π)/(3)	(7π)/(12)	(5π)/(6)	(13π)/(12)
y	0	1	0	-1	0

（3）∵x∈[−(π)/(12)，(π)/(2)]，则2x−(π)/(6)∈[−(π)/(3)，(5π)/(6)]，
∴sin(2x−(π)/(6))∈[−(√(3))/(2)，1]
设t＝sin(2x−(π)/(6))∈[−(√(3))/(2)，1]，则函数y＝g(x)＝t2+t＝(t+(1)/(2))2−(1)/(4)
当t＝−(1)/(2)时，ymin＝−(1)/(4)；当t=1时，y_max=2，
即所求函数g（x）的值域为[−(1)/(4)，2]…（12分）