用综合法证明：若a>0,b>0则a³+b³/2≥﹛a+b/2﹜³

Question

用综合法证明：若a>0,b>0则a³+b³/2≥﹛a+b/2﹜³

Answer 1

(a^3+b^3)/2
＝4(a³+b³)/8
＝(a³+b³)/8＋3(a³+b³)/8
＝(a³+b³)/8+3(a＋b)(a²－ab＋b²)/8
≥(a³+b³)/8＋3(a＋b)ab/8 (原理：a²＋b²≥2ab,当且仅当a＝b时取等）
＝a³+b³＋3a²b＋3b²a/8
＝(a+b)³/8
＝[(a+b)/2]³
总之：知识点：1：重要不等式a²＋b²≥2ab
2：立方和公式a³+b³=(a＋b)(a²－ab＋b²)
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