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高二数学证明若a,b,c是不全相等的正数,用综合法证明lga+b/2+lgb+c/2+lga+c/2>lga+lgb+lgc
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高二数学 证明
若a,b,c是不全相等的正数,用综合法证明lg a+b/2+lg b+c/2+lg a+c/2>lga+lgb+lgc
若a,b,c是不全相等的正数,用综合法证明lg a+b/2+lg b+c/2+lg a+c/2>lga+lgb+lgc
▼优质解答
答案和解析
证明:∵a,b,c∈R+,
∴a+b /2 ≥根号ab >0,b+c /2 ≥根号 bc >0,a+c 2 ≥ 根号ac >0…(4分)
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴a+b /2 •b+c /2 •a+c/ 2 >abc成立.…(6分)
lg(a+b /2 •b+c/ 2 •a+c /2 )>lgabc
∴lga+b/ 2 +lgb+c /2 +lga+c /2 >lg a+lg b+lg c.…(12分)
∴a+b /2 ≥根号ab >0,b+c /2 ≥根号 bc >0,a+c 2 ≥ 根号ac >0…(4分)
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴a+b /2 •b+c /2 •a+c/ 2 >abc成立.…(6分)
lg(a+b /2 •b+c/ 2 •a+c /2 )>lgabc
∴lga+b/ 2 +lgb+c /2 +lga+c /2 >lg a+lg b+lg c.…(12分)
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