已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．

Question

已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．

Answer 1

由题意知：acosx+bcos2x+1
=acosx+b（2cos²x-1）+1
=2bcos²x+acosx+1-b，
令cosx=t，t∈[-1，1]，则当f（t）=2bt²+at+1-b≥0时，t∈[-1，1]恒成立，
①当b＞1时，f（0）=1-b＜0，不满足f（t）=2bt²+at+1-b≥0，t∈[-1，1]恒成立；
②当0＜b≤1时，则必有

f(1)＝a+b+1≥0

f(−1)＝b−a+1≥0

⇒

a≥−(b+1)

a≤b+1

⇒|a|≤b+1（*），
（i）当对称轴t=-(a)/(4b)∉[-1，1]时，即|(a)/(4b)|≥1，也即|a|≥4b时，有4b≤|a|≤b+1，
则b≤(1)/(3)，则|a|≤b+1≤(4)/(3)，则a+b≤(5)/(3)，
当a=(4)/(3)，b=(1)/(3)时，(a+b)max＝(5)/(3)；
（ii）当对称轴t=−(a)/(4b)∈[-1，1]时，即|(a)/(4b)|≤1，也即|a|≤4b时，
则必有△=a²-8b（1-b）≤0，即a²≤8b（1-b）=8b-8b²，
又由（*）知a²≤（b+1）²，
则由于（b+1）²-（8b-8b²）=9b²-6b+1=（3b-1）²≥0，
故只需a²≤8b-8b²成立即可，问题转化为a²≤8b-8b²成立的条件下，求a+b的最大值，
把条件配方得：(a2)/(2)+4(b−(1)/(2))2≤1<

作业帮用户 2017-09-29