设0＜a＜1，x和y满足logax+3logxa-logxy=3，如果y有最大值24，求这时a和x的值．

Question

设0＜a＜1，x和y满足log_ax+3log_xa-log_xy=3，如果y有最大值(√(2))/(4)，求这时a和x的值．

Answer 1

原式可化为log_ax+(3)/(logax)-(logay)/(logax)=3，即log_ay=log_a²x-3log_ax+3=（log_ax-(3)/(2)）²+(3)/(4)，知当log_ax=(3)/(2)时，log_ay有最小值(3)/(4)．
∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a(3)/(4)．
根据题意a(3)/(4)=(√(2))/(4)⇒a=(1)/(4)．这时x=a(3)/(2)=((1)/(4))(3)/(2)=(1)/(8)．