已知函数f（x）=ax3-3x2+1（a>0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数．

Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1（a>0），g（x）=lnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数．

Answer 1

（ I）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=(2)/(a)．
∵a>0，x₁<x₂，
f′（x）及f（x）符号变化如下，

x	（-∞，0）	0	（0，(2)/(a)）	(2)/(a)	（(2)/(a)，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（(2)/(a)）=(8)/(a2)-(12)/(a2)+1=-(4)/(a2)+1．
（ II）令g（x）=lnx=0，得x=1．
当0<x<1时，g（x）<0；x=1时，g（x）=0；当x>1时，g（x）>0．
（1）当x>1时，g（x）>0，g（x）在（1，+∞）上无零点．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（1，+∞）上无零点．
（2）当x=1时，g（1）=0，
所以1为g（x）的一个零点．
f（1）=a-2，
①当a=2时，1是f（x）的一个零点．
所以当a=2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．
②当0<a<2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．
③当a>2时，h（x）=max{f（x），g（x）}无零点．
（3）当0<x<1时，g（x）<0，g（x）在（0，1）上无零点．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零点个数就是f（x）在（0，1）上的零点个数．
当a>0时，由（ I）可知f（x）在（0，(2)/(a)）上为减函数，在（(2)/(a)，+∞）上为增函数，
且f（0）=1，f（1）=a-2，f（(2)/(a)）=-(4)/(a2)+1=(a2-4)/(a2)．
①当(2)/(a)>1，即0<a<2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a-2<0，f（0）=1>0．
所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．
②当(2)/(a)=1，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a-2=0，
所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．
③当(2)/(a)<1，即a>2时，f（x）在（0，(2)/(a)）上为减函数，在（(2)/(a)，1）上为增函数，
f（(2)/(a)）=-(4)/(a2)+1=(a2-4)/(a2)>0，所以f（x）在（0，