已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．

Question

已知函数f（x）=2ax²+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是___．

Answer 1

函数f（x）=2ax²+3b图象的顶点为（0，3b），
若若对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，
则

-1≤2a+3b≤1

-1≤3b≤1

，
其对应的平面区域如下图所示：

令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，
由2a+3b=1，a>0，b>0得：ab≤((2a+3b)2)/(24)=(1)/(24)，
故答案为：(1)/(24)