如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围；（2）面积S是否存在着最小值？若存在，求其最小值

Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：

（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围；
（2）面积S是否存在着最小值？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍．

Answer 1

（1）S_{四边形CGEF}=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF
=(1)/(2)×（3+6）×4-(1)/(2)x(4−x)−(1)/(2)x(6−x)−(1)/(2)x•4
=x²-7x+18（3分）
∵x＞0，且3-x＞0，4-x＞0，6-x＞0，
∴0＜x＜3（1分）
则所求的函数表达式是S=x²-7x+18（0＜x＜3）（1分）
（2）S=x²-7x+18=(x−(7)/(2))2+(23)/(4)，
由于x=(7)/(2)不在x的取值范围内，而x也取不到0，（2分）
则面积S的最小值不存在．（1分）
（3）由题意，令S=4x，代入（1）题中求得的S关于x的表达式，
得x²-7x+18=4x，解方程，得x₁=2，x₂=9（2分）
∵0＜x＜3，∴x₂=9不合题意．（1分）
则当x=2时，S的数值等于x的4倍．