定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(

Question

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a· ＋ .
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）不是有界函数（2）[－5，1]

(1)当a＝1时，f(x)＝1＋
因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，
故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，
所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．
－3≤f(x)≤3，－4－ ≤a· ≤2－ ，所以－4·2 ^x － ≤a≤2·2 ^x － 在[0，＋∞)上恒成立．所以 ≤a≤ ，
设2 ^x ＝t，h(t)＝－4t－ ，p(t)＝2t－ ，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t ₁ <t ₂ ，h(t ₁ )－h(t ₂ )＝ >0，p(t ₁ )－p(t ₂ )＝ <0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]．