根据下面各个数列{an}的首项和递推关系，求其通项公式：（1）a1=1，an+1=an+2n（n∈N*）；（2）a1=1，an+1=nn+1an（n∈N*）；（3）a1=1，an+1=12an+1（n∈N*）．

Question

根据下面各个数列{a_n}的首项和递推关系，求其通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
（2）a₁=1，a_n+1=(n)/(n+1)a_n（n∈N^*）；
（3）a₁=1，a_n+1=(1)/(2)an+1（n∈N^*）．

Answer 1

（1）∵a_n+1=a_n+2n，∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2×1+2×2+…+2×（n-1）=1+n×（n-1）=n²-n+1
（2）∵(an+1)/(an)＝(n)/(n+1)，∴
a_n=a₁×(a2)/(a1)×(a3)/(a2)×(a4)/(a3)…×(an−1)/(an−2)×(an)/(an−1)=1×(1)/(2)×(2)/(3)×(3)/(4)…×(n−2)/(n−1)×(n−1)/(n)=(1)/(n)
又由题意，（n+1）a_n+1=na_n对一切自然数n成立，
∴na_n=（n-1）a_n-1═1•a₁=1，
∴an＝(1)/(n)．
（3）∵an+1＝(1)/(2)an+1∴an+1−2＝(1)/(2)(an−2)∴{an−2}是首项为a₁-2=-1
公比为(1)/(2)的等比数列，
∴a n−2＝−1•((1)/(2))n−1，∴an＝2−((1)/(2))n−1．