设f（n）=n(n∈N*，n为奇数)f(n2)(n∈N*，n为偶数)，an=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）（n∈N*）（1）求a1，a2，a3的值；（2）写出an与an-1的一个递推关系式，并求出an关于n的表达式；（3）设

Question

设f（n）=

   n    (n∈N*，n为奇数)

f((n)/(2))  (n∈N*，n为偶数)

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）写出a_n与a_n-1的一个递推关系式，并求出a_n关于n的表达式；
（3）设数列{b_n}的通项为b_n=log₂（3a_n-2）-10（n∈N^*），前n项和为S_n．整数10³是否为数列{b_n•S_n}中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

Answer 1

∵f（n）=

   n    (n∈N*，n为奇数)

f((n)/(2))  (n∈N*，n为偶数)

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
（1）a₁=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）=2；
a₂=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（3）+f（1）+f（2）=1+3+a₁=6；
a₃=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=22；
（2）an-1=f(1)+f(2)+…+f(2n-1)，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2ⁿ-1）
+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2ⁿ）=1+3+5+…+2ⁿ-1+f（1）+f（2）+…+f（2ⁿ-1）
∴an=an-1+4n-1(n≥2)．
∴an=2+4+42+…+4n-1=(4n+2)/(3)．
（3）∵b_n=log₂（3a_n-2）-10=2n-10，Sn=(n(b1+bn))/(2)=n(n-9)．
∴b_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
当5≤n≤9时，b_nS_n≤0．
当10≤n≤13时，bnSn≤b13S13=832＜103．
当n≥14时，bnSn≥b14S14=1260＞103．
故10³不是数列{b_n•S_n}中的项．