若在直角坐标平面第一象限内点的坐标(xy)满足x+y＞n并且x、y都大于n(n∈N*)的整点(横、纵坐标均为整数)的个数记为an.(1)求a3、a4、a5并写出数列{an}的通项公式an=f(n)(不要

Question

若在直角坐标平面第一象限内 点的坐标(x y)满足x+y＞n 并且x、y都大于n(n∈ N ^* )的整点(横、纵坐标均为整数)的个数记为a _n .

(1)求a ₃ 、a ₄ 、a ₅ 并写出数列{a _n }的通项公式a _n =f(n)(不要求证明);

(2)设数列{b _n }满足:b _n =n ² -2a _n T _n =2 ^n-1 b ₁ +2 ^n-2 b ₂ +…+2b _n-1 +b _n 求T _n .

Answer 1

思路解析:本题第一问可以首先根据不等式 画出对应的平面区域确定出an 从而将问题解决;第二问利用错位相减法 从而将问题解决.解:(1)满足条件的点(x y)在所表示的平面区域内 如图阴影部分.不难得出a3=1 a4=2 a5=3 ∴an=0+1+2+…+(n-2)=.(2)∵bn=n2-2an=3n-2 ∴bn+1-bn=3.∴数列{bn}是以1为首项 公差为3的等差数列.∵Tn=2n-1b1+2n-2b2+…+2bn-1+bn ∴Tn=2n-1+2n-2·4+…+2(3n-5)+(3n-2)       ①2Tn=2n+2n-1·4+…+22(3n-5)+2(3n-2).       ②②-① 得Tn=2n+3(2n-1+2n-2+…+2)-(3n-2)=2n+-(3n-2)=2n+2-3n-4 ∴Tn=2n+2-3n-4.