用数学归纳法证明：1+n2≤1+12+13…+12n≤12+n（n∈N*）

Question

用数学归纳法证明：1+(n)/(2)≤1+(1)/(2)+(1)/(3)…+(1)/(2n)≤(1)/(2)+n（n∈N^*）

Answer 1

证明：①当n=1时，1+(1)/(2)≤1+(1)/(2)≤(1)/(2)+1，不等式成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+(k)/(2)≤1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(2k)≤(1)/(2)+k，
则n=k+1时，
1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(2k)+(1)/(2k+1)+(1)/(2k+2)+…+(1)/(2k+2k)
≥1+(k)/(2)+(1)/(2k+1)+(1)/(2k+2)+…+(1)/(2k+2k)
＞1+(k)/(2)+

(1)/(2k+2k)+(1)/(2k+2k)+…+(1)/(2k+2k)

作业帮用户 2016-12-16

问题解析

利用数学归纳法分两步证明即可，①当n=1时，易证不等式成立；②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+(k)/(2)≤1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(2k)≤(1)/(2)+k，通过放缩法，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可．

名师点评

本题考点：

数学归纳法．

考点点评：

本题考查数学归纳法，着重考查放缩法的应用，考查转化思想与推理论证的能力，属于难题．

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