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数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2)(2)设bn=an+1−anan,证明数列{bn}的前n项和Sn<74(3)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<2e34(n≥
题目详情
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
)an+
(n≥1).
(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2)
(2)设bn=
,证明数列{bn}的前n项和Sn<
(3)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<2e
(n≥1)(其中无理数e=2.71828…)
1 |
n2+n |
1 |
2n |
(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2)
(2)设bn=
an+1−an |
an |
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(3)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<2e
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)①当n=2 时,a2=2,不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2,那么ak+1=(1+1k2+k)ak+12k>ak≥2.即当n=k+1时不等式成立.根据①②可知:an≥2对 n≥2成立.…(4分)(2)∵an...
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