已知an＝1+22+33+…+nn(n+1)n，用数学归纳法证明：n∈N*时，an＜1．

Question

已知an＝(1+22+33+…+nn)/((n+1)n)，用数学归纳法证明：n∈N^*时，a_n＜1．

Answer 1

利用数学归纳法证明．
①当n=1时，a₁=(1)/(2)＜1；
②假设n=k时，不等式成立，即ak＝(1+22+33+…+kk)/((k+1)k)＜1．
那么n=k+1时，ak+1＝(1+22+33+…+(k+1)k+1)/((k+2)k+1)＜((k+1)k+(k+1)k+1)/((k+2)k+1)=((k+1)k)/((k+2)k)＜1．
这就是说，n=k+1时，不等式也成立．
所以an＝(1+22+33+…+nn)/((n+1)n)，对于n∈N^*时，a_n＜1成立．