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已知各项均为正数的数列{an}满足a0=1/2,an=a(n-1)+(1/n^2)*(a(n-1))^2.求证an小于n快,
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已知各项均为正数的数列{an}满足a0=1/2,an=a(n-1)+(1/n^2)*(a(n-1))^2.求证an小于n
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▼优质解答
答案和解析
显然题目中n∈N
当n=1时,a1=1/2+1/4=3/4<1,命题成立;
假定n=k时,ak<k
当n=k+1时,a(k+1)=ak+(ak)^2/(k+1)^2
<k+[k/(k+1)]^2<k+[(k+1)/(k+1)]^2=k+1,即n=k+1时命题也成立
于是对于n∈N,an<n.
当n=1时,a1=1/2+1/4=3/4<1,命题成立;
假定n=k时,ak<k
当n=k+1时,a(k+1)=ak+(ak)^2/(k+1)^2
<k+[k/(k+1)]^2<k+[(k+1)/(k+1)]^2=k+1,即n=k+1时命题也成立
于是对于n∈N,an<n.
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