设f（x）=2xx+2，x1=1，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*）（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳并猜想{xn}的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．

Question

设f（x）=(2x)/(x+2)，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）
（1）求x₂，x₃，x₄的值；
（2）归纳并猜想{x_n}的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵f（x）=(2x)/(x+2)，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=f（x₁）=(2)/(3)，x₃=f（x₂）=(2)/(4)，x₄=f（x₃）=(2)/(5)；
（2）猜想{x_n}的通项公式x_n=(2)/(n+1)；
（3）①n=1时，x₁=(2)/(1+1)=1，成立；
②假设n=k时结论成立，即x_k=(2)/(k+1)，则
x_k+1=f（x_k）=(2•(2)/(k+1))/((2)/(k+1)+2)=(2)/((k+1)+1)，
∴n=k+1时，结论成立．
由①②可知x_n=(2)/(n+1)．