用数学归纳法证明(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2n)]=[1-q^(2n+1)]/(1-q)用数学归纳法证明(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2n)]=[1-q^(2n+1)]/(1-q)写错了，应该是(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2^n)]=[1-q^(2^(n+1))]/(1-q)也就是说，次数2

Question

用数学归纳法证明(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2n)]=[1-q^(2n+1)]/(1-q)
用数学归纳法证明 (1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2n)]=[1-q^(2n+1)]/(1-q)
写错了，应该是(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2^n)]=[1-q^(2^(n+1))]/(1-q)
也就是说，次数2的上面还有次数n或其他，请留意。

Answer 1

证明
1、当n=1时
左边=（1+q）（1+q^2)
右边=（1-q^4）/(1-q)
=（1-q^2）（1+q^2)/(1-q)
=（1+q）（1+q^2)=左边
成立
2、假设当n=k时成立,即
(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2k)]=[1-q^(2(k+1))]/(1-q)
那么当n=k+1时
(1+q)(1+q^2)(1+q^.4)...[1+q^(2^k)]*.[1+q^（2^（k+1)）]
=[1-q^（2^(k+1)）]/(1-q)*.[1+q^（2^（k+1)）]
={1-[q^(2^(k+1)）]^2}/(1-q)
=[1-q^(2^(k+1+1)]/(1-q)
也成立
所以(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...[1+q^(2^n)]=[1-q^(2^(n+1))]/(1-q)
【数学辅导团】为您解答,如果本题有什么不明白可以追问,
备注：
[q^(2^(k+1)）]^2
=q^(2^(k+1)）*q^(2^(k+1））
=q^[2^(k+1)）+2^(k+1）]
=q^[2^(k+1)）*2]
=q^[2^(k+1+1）]