已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．(Ⅰ)求复数z；(Ⅱ)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Question

已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(Ⅰ)求复数z；
(Ⅱ)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】(I)设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．
\n(II)根据上一问做出的复数的结果，代入复数(z+ai)²，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．

(Ⅰ)设复数z=a+bi(a，b∈R)，
\n由题意，z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i∈R，
\n∴b+2=0，即b=-2．
\n又，
\n∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
\n(Ⅱ)由(Ⅰ)可知z=4-2i，
\n∵(z+ai)²=(4-2i+ai)²=[4+(a-2)i]²=16-(a-2)²+8(a-2)i
\n对应的点在复平面的第一象限，
\n∴
\n解得a的取值范围为2<a<6．

【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．