λ1=√ki/√m,λ2=-√ki/√m其中i是纯虚数,这样有基本解cos√k*t/√m,sin√k*t/√m这不是怎么转化的?a+bi,a-bi,y=e^a*(c1cosbx+c2sinbx),这是主要公式

Question

λ1=√ki/√m,λ2=-√ki/√m 其中i是纯虚数,这样有基本解cos√k*t/√m,sin√k*t/√m这不是怎么转化的?
a+bi,a-bi,y=e^a*(c1cosbx+c2sinbx),这是主要公式

Answer 1

md^2x/dt^2=-kx
d^2x/dt^2=-kx/m
设x=ce^(λt)---------------------------------------------(1)
dx/dt=λce^(λt)
d^2x/dt^2=(λ^2)ce^(λt)=-(k/m)x=-(k/m)ce^(λt)
λ^2=-(k/m)
λ=±i √(k/m)------------------------------------------(2)
从(1),(2),x=(a+bi)*e^(+i t√(k/m))+(d+fi)*e^(-i t√(k/m))
利用Euler公式e^(ix)=cosx+i*sinx
x=(a+bi)*[cos{t√(k/m)}+i*sin{t√(k/m)}]+(d+fi)*[cos{t√(k/m)}-i*sin{t√(k/m)}]
=(a+bi+d+fi)*cos{t√(k/m)}+i(a+bi-d-fi)*sin{t√(k/m)}