1.已知非零向量a,b满足|a|=1且(a-b)*(a+b)=1/2(1)若a*b=1/2,求向量a,b的夹角(2)在(1)的条件下,求|a-b|的值2.设向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R)(1)求a*b(2)求u的模的最小值3.在平行四边形ABCD中,A

Question

1.已知非零向量a,b满足|a|=1且(a-b)*(a+b)=1/2
(1)若a*b=1/2,求向量a,b的夹角
(2)在(1)的条件下,求|a-b|的值
2.设向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R)
(1)求a*b
(2)求u的模的最小值
3.在平行四边形ABCD中,A(1,1),向量AB=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与线段BD交于点P
(1)若向量AD=(3,5),求点C的坐标
(2)当|向量AB|=|向量AD|时,求点P的轨迹方程
4.已知△ABC顶点的直角坐标分别A(3,4) B(0,0) C(c,0)
(1)若c=5,求sinA的值
(2)若A是钝角,求c的取值范围
5.已知sin(a-π/4)=(7√2)/10,cos2a=7/25,求sina

Answer 1

1.
(1) 设夹角为α,cosα=a*b/(|a|*|b|)
∵(a-b)*(a+b)=1/2
∴a*a-b*b=1/2
∴b*b=1/2,|b|=1/√2=√2/2
∴cosα=√2/2,α=π/4.
(2) a*a-2a*b+b*b=(a-b)*(a-b)=|a-b|*|a-b|=1/2
∴|a-b|=√2/2
2.
(1) a*b=cos23°*cos68°+cos67°*cos22°
=sin(90°-68°)cos23°+cos22°sin(90°-67°)
=sin22°cos23°+cos22°sin23°
=sin(22°+23°)=sin45°=√2/2
(2) (a+tb)*(a+tb)=|a+tb|*|a+tb|
=a*a+2t*a*b+t*t*b*b
其中a*a=cos23°*cos23°+cos67°*cos67°
=cos23°*sin67°+cos67°*sin23°
=sin90°=1
同理b*b=1.
所以原式=t^2+√2t+1=(t+√2/2)^2+1/2≥1/2
所以|a+tb|^2≥1/2,|a+tb|≥√2/2
最小值√2/2
3.
(1)平行四边形中：A点坐标+C点坐标=B点坐标+D点坐标
向量中：AB=B点坐标-A点坐标
所以B点坐标：(1+6,1+0)=(7,1)
同理D点坐标：(4,6)
所以C点坐标：(4+7-1,6+1-1)=(10,6)
(2)设点D坐标(x,y)则有(x-1)^2+(y-1)^2=36
∵AB‖CD∴MB：CD=BD：PD=1：2
定比分点公式学过吗?
设P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,点P（x,y）分线段P1 P2的比
P1P：P2P为λ,则x=（x1+λx2）/（1+λ）,
y=（y1+λy2）/（1+λ）,并且λ≠-1.
所以点P的坐标：((7+2x)/3,(1+2y)/3)=(u,v)
u=(7+2x)/3,则x=(3u-7)/2;
v=(1+2y)/3,则y=(3v-1)/2;
将这个代入(x-1)^2+(y-1)^2=36,就是轨迹方程,我就不写下去了.
4.
(1) 有题目给出的坐标A(3,4) B(0,0) C(5,0)求的AB=5=BC,AC=2√5
由勾股定理求得AC上的高为2√5,sinA=2√5/5
(2) 当∠A=90°时,从A点向BC边做垂线,交BC于D,易求得D点坐标(3,0)
且三角形ABC于三角形DBA相似
∴BD：AB=AB：BC
∴BC=25/3
显然当C点横坐标取值大于25/3时,角A为钝角
5.已知sin(a-π/4)=(7√2)/10,cos2a=7/25,求sina
sina*√2/2-cosa*√2/2=7√2/10
sina-cosa=7/5 式1
cos2a=cosa*cosa-sina*sina
=(cosa-sina)*(cosa+sina)
∴cosa+sina=-1/5 式2
式1+式2：2sina=6/5
sina=3/5
终于写完了,累啊