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(2012•海淀区二模)在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E、C不重合).(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位
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(2012•海淀区二模)在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E、C不重合).
(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系及
的值,并证明你的结论;
(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f3f575cb7acc379310b551dec.jpg)
(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系及
CE |
BM |
(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f3f575cb7acc379310b551dec.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)BN与NE的位置关系是BN⊥NE;
=
.
证明:如图,过点E作EG⊥AF于G,则∠EGN=90°.
∵矩形ABCD中,AB=BC,
∴矩形ABCD为正方形.
∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCB=90°.
∴EG∥CD,∠EGN=∠A,∠CDF=90°.
∵E为CF的中点,EG∥CD,
∴GF=DG=
DF=
CD.
∴GE=
CD.
∵N为MD(AD)的中点,
∴AN=ND=
AD=
CD.
∴GE=AN,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB.
∴△NGE≌△BAN.
∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠BNE=90°.
∴BN⊥NE.
∵∠CDF=90°,CD=DF,
可得∠F=∠FCD=45°,
=
.
于是
=
=
=
=
.
(2)在(1)中得到的两个结论均成立.
证明:如图,延长BN交CD的延长线于点G,连接BE、GE,过E作EH⊥CE,
交CD于点H.
∵四边形ABCD是矩形,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b60097339106ea50352ac75cb786.jpg)
∴AB∥CG.
∴∠MBN=∠DGN,∠BMN=∠GDN.
∵N为MD的中点,
∴MN=DN.
∴△BMN≌△GDN.
∴MB=DG,BN=GN.
∵BN=NE,
∴BN=NE=GN.
∴∠BEG=90°.
∵EH⊥CE,
∴∠CEH=90°.
∴∠BEG=∠CEH.
∴∠BEC=∠GEH.
由(1)得∠DCF=45°.
∴∠CHE=∠HCE=45°.
∴EC=EH,∠EHG=135°.
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°,
∴∠ECB=∠EHG.
∴△ECB≌△EHG.
∴EB=EG,CB=HG.
∵BN=NG,
∴BN⊥NE.
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42a8cf49f1a003b5bb5c8eab886.jpg)
CE |
BM |
| ||
2 |
证明:如图,过点E作EG⊥AF于G,则∠EGN=90°.
∵矩形ABCD中,AB=BC,
∴矩形ABCD为正方形.
∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCB=90°.
∴EG∥CD,∠EGN=∠A,∠CDF=90°.
∵E为CF的中点,EG∥CD,
∴GF=DG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴GE=
1 |
2 |
∵N为MD(AD)的中点,
∴AN=ND=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴GE=AN,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB.
∴△NGE≌△BAN.
∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠BNE=90°.
∴BN⊥NE.
∵∠CDF=90°,CD=DF,
可得∠F=∠FCD=45°,
CF |
CD |
2 |
于是
CE |
BM |
CE |
BA |
CE |
CD |
| ||
CD |
| ||
2 |
(2)在(1)中得到的两个结论均成立.
证明:如图,延长BN交CD的延长线于点G,连接BE、GE,过E作EH⊥CE,
交CD于点H.
∵四边形ABCD是矩形,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b60097339106ea50352ac75cb786.jpg)
∴AB∥CG.
∴∠MBN=∠DGN,∠BMN=∠GDN.
∵N为MD的中点,
∴MN=DN.
∴△BMN≌△GDN.
∴MB=DG,BN=GN.
∵BN=NE,
∴BN=NE=GN.
∴∠BEG=90°.
∵EH⊥CE,
∴∠CEH=90°.
∴∠BEG=∠CEH.
∴∠BEC=∠GEH.
由(1)得∠DCF=45°.
∴∠CHE=∠HCE=45°.
∴EC=EH,∠EHG=135°.
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°,
∴∠ECB=∠EHG.
∴△ECB≌△EHG.
∴EB=EG,CB=HG.
∵BN=NG,
∴BN⊥NE.
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=
作业帮用户
2017-11-02
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