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如图1,已知平面直角坐标系内,A(0,3),B(-4,0),C为x轴上正半轴上一点,若P为OB延长线上一点,PM⊥CA于M,且∠CPM=12∠BAC.(1)求C点坐标;(2)如图2,若OA2+OB2=AB2,过动点P向AB延长
题目详情
如图1,已知平面直角坐标系内,A(0,3),B(-4,0),C为x轴上正半轴上一点,若P为OB延长线上一点,PM⊥CA于M,且∠CPM=
∠BAC.
(1)求C点坐标;
(2)如图2,若OA2+OB2=AB2,过动点P向AB延长线作PN⊥AB于N,求证:PM-PN为定值;
(3)如图3,以BC为边作等边△BCD,Q为BD边的中点.连PQ,且∠PQE=120°.QE交DC延长线于E,问:在点P运动的过程中,CP-CE是否发生变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由.
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(1)求C点坐标;
(2)如图2,若OA2+OB2=AB2,过动点P向AB延长线作PN⊥AB于N,求证:PM-PN为定值;
(3)如图3,以BC为边作等边△BCD,Q为BD边的中点.连PQ,且∠PQE=120°.QE交DC延长线于E,问:在点P运动的过程中,CP-CE是否发生变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵PM⊥CA,
∴∠CPM+∠ACO=90°,
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠CPM=∠OAC,
又∵∠CPM=
∠BAC,
∴∠OAB=∠OAC,
在△AOB和△AOC中,
,
∴△AOB≌△AOC(ASA),
∴OC=OB=4,AB=AC,
∴点C(4,0);
(2)∵A(0,3),B(-4,0),
∴OA=3,OB=4,
由勾股定理得,AC=
=5,
∵AB=AC,
∴∠ACO=∠ABO,
∵∠PBN=∠ABO(对顶角相等),
∴∠PBN=∠ACO=∠ABO,
∴PM=PC•sin∠ACO=
PC,
PN=PB•sin∠ACO=
PB,
∴PM-PN=
PC-
PB=
BC=
×(4+4)=
,为定值;
(3)过点Q作QM⊥BC于M,作QN⊥CD于N,
∵△BCD是等边三角形,Q为BD边的中点,
∴∠CBD=∠BDC=60°,BQ=DQ,
在△BQM和△DQN中,
,
∴△BQM≌△DQN(AAS),
∴QM=QN,BM=DN,
∴BC-BM=CD-DN,
即CM=CN,
∵∠PQE=120°,∠PCE=180°-60°=120°,
∴∠QPM=∠E,
在△PMQ和△ENQ
∴∠CPM+∠ACO=90°,
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠CPM=∠OAC,
又∵∠CPM=
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∴∠OAB=∠OAC,
在△AOB和△AOC中,
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∴△AOB≌△AOC(ASA),
∴OC=OB=4,AB=AC,
∴点C(4,0);
(2)∵A(0,3),B(-4,0),
∴OA=3,OB=4,
由勾股定理得,AC=
32+42 |
∵AB=AC,
∴∠ACO=∠ABO,
∵∠PBN=∠ABO(对顶角相等),
∴∠PBN=∠ACO=∠ABO,
∴PM=PC•sin∠ACO=
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PN=PB•sin∠ACO=
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∴PM-PN=
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(3)过点Q作QM⊥BC于M,作QN⊥CD于N,
∵△BCD是等边三角形,Q为BD边的中点,
∴∠CBD=∠BDC=60°,BQ=DQ,
在△BQM和△DQN中,
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∴△BQM≌△DQN(AAS),
∴QM=QN,BM=DN,
∴BC-BM=CD-DN,
即CM=CN,
∵∠PQE=120°,∠PCE=180°-60°=120°,
∴∠QPM=∠E,
在△PMQ和△ENQ
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