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如图所示,在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F,连接AF,在AF上取点G,使得AG=AD,连接DG,过点A作AE⊥AF,交DG于点E.(1)若正方形ABCD的边长为4,且tan∠FAB=12,求FG的长;(2)求证:AE+BF=AF
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如图所示,在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F,连接AF,在AF上取点G,使得AG=AD,连接DG,过点A作AE⊥AF,交DG于点E.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd1139e7e7f8359afa40f4afb05d4.jpg)
(1)若正方形ABCD的边长为4,且tan∠FAB=
,求FG的长;
(2)求证:AE+BF=AF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd1139e7e7f8359afa40f4afb05d4.jpg)
(1)若正方形ABCD的边长为4,且tan∠FAB=
1 |
2 |
(2)求证:AE+BF=AF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是正方形,且边长为4,
∴∠ABF=90°,AB=AD=4,
∵在Rt△ABF中,tan∠FAB=
,
即
=
,
∴FB=
×4=2,
∴AF=
=2
,
∵AG=AD=4,
∴FG=AF-AG=2
-4;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab64f7c18571f436afc378311ed4.jpg)
(2)在BC上去截取BM=AE,
∵AG=AD,AB=AD,
∴AG=AB,
∵AE⊥AF,
∴∠EAG=∠ABM=90°,
在△AGE和△BAM中,
∵
,
∴△AGE≌△BAM,
∴∠AMB=∠AEG,∠BAM=∠AGD,
∵AG=AD,
∴∠AGD=∠ADG,
∴∠BAM=∠ADG,
∵∠BAD=90°,
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠FAB=∠EAD,
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM,
∴∠FAM=∠AMB,
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE.
∴∠ABF=90°,AB=AD=4,
∵在Rt△ABF中,tan∠FAB=
1 |
2 |
即
FB |
AB |
1 |
2 |
∴FB=
1 |
2 |
∴AF=
AB2+BF2 |
5 |
∵AG=AD=4,
∴FG=AF-AG=2
5 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab64f7c18571f436afc378311ed4.jpg)
(2)在BC上去截取BM=AE,
∵AG=AD,AB=AD,
∴AG=AB,
∵AE⊥AF,
∴∠EAG=∠ABM=90°,
在△AGE和△BAM中,
∵
|
∴△AGE≌△BAM,
∴∠AMB=∠AEG,∠BAM=∠AGD,
∵AG=AD,
∴∠AGD=∠ADG,
∴∠BAM=∠ADG,
∵∠BAD=90°,
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠FAB=∠EAD,
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM,
∴∠FAM=∠AMB,
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE.
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