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如图所示,在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F,连接AF,在AF上取点G,使得AG=AD,连接DG,过点A作AE⊥AF,交DG于点E.(1)若正方形ABCD的边长为4,且tan∠FAB=12,求FG的长;(2)求证:AE+BF=AF

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如图所示,在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F,连接AF,在AF上取点G,使得AG=AD,连接DG,过点A作AE⊥AF,交DG于点E.

(1)若正方形ABCD的边长为4,且tan∠FAB=
1
2
,求FG的长;
(2)求证:AE+BF=AF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是正方形,且边长为4,
∴∠ABF=90°,AB=AD=4,
∵在Rt△ABF中,tan∠FAB=
1
2

FB
AB
=
1
2

∴FB=
1
2
×4=2,
∴AF=
AB2+BF2
=2
5

∵AG=AD=4,
∴FG=AF-AG=2
5
-4;

(2)在BC上去截取BM=AE,
∵AG=AD,AB=AD,
∴AG=AB,
∵AE⊥AF,
∴∠EAG=∠ABM=90°,
在△AGE和△BAM中,
AG=BA
∠GAE=∠ABM
AE=BM

∴△AGE≌△BAM,
∴∠AMB=∠AEG,∠BAM=∠AGD,
∵AG=AD,
∴∠AGD=∠ADG,
∴∠BAM=∠ADG,
∵∠BAD=90°,
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠FAB=∠EAD,
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM,
∴∠FAM=∠AMB,
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE.