如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）在（2

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．

（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若(CF)/(CD)=n（n＞0），求sin∠CAB．

Answer 1

（1）证明：连接DE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE；
（2） 在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴(AE)/(AF)=(AD)/(AE)
即(AE)/(6)=(2)/(AE)
∴AE=2√(3)cm；
（3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴(AD)/(ED)=(DE)/(DF)
∵(CF)/(CD)=n，AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=（1+n）CD
∴DE=√(1+n)CD
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=CD²+（√(1+n)CD）²=（n+2）CD²
∴CE=√(n+2)CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC=(CD)/(CE)=(1)/(√(n+2))=(√(n+2))/(n+2)．