（2014•桂林）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求

Question

（2014•桂林）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG²=AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC=2√(5)，AB=4√(5)，求△AFG的面积．

Answer 1

（1）PA与⊙O相切．理由：
连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，
∴∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠CAD=90°，
即DA⊥PA，
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴

AC

=

AD

，
∴∠AGF=∠ABG，
∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB=AF：AG，
∴AG²=AF•AB；

（3）如图3，连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∵AG²=AF•AB，AG=AC=2√(5)，AB=4√(5)，
∴AF=(AG2)/(AB)=√(5)，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴(AE)/(AB)＝(AF)/(AD)，
即(AE)/(4√(5))＝(√(5))/(10)，
解得：AE=2，
∴EF=

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

（1）首先连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，然后由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．
（2）首先连接BG，易证得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）首先连接BD，由AG²=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

名师点评

本题考点：

圆的综合题．

考点点评：

此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议