如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，DF⊥BE交BE的延长线于点G，交BC的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△DCF．（2）若∠DBE=∠CBE，求证：BD=BF．（3）在（2）的条件下，求CE：ED的值．

Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，DF⊥BE交BE的延长线于点G，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）若∠DBE=∠CBE，求证：BD=BF．
（3）在（2）的条件下，求CE：ED的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠CBE﹢∠BEC=90°，
又∵BG⊥DF，
∴∠CBE﹢∠F=90°，
∴∠BEC=∠F，
在△BCE与△DCF中，

∠BEC＝∠F

∠BCE＝∠DCF

BC＝CD

，
∴△BCE≌△DCF（AAS）           

（2）证明：∵BG⊥DF
∴∠BGD=∠BGF        
在△DBG与△FBG中，

∠BGD＝∠BGF

BG＝BG

∠DBG＝∠FBG

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF；               

（3）延长AD、BG交于点H．
∵BD=BF，BG⊥DF，
∴∠DBG∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠H=∠FBG，
∴∠DBH=∠H，
∴DB=DH，
∵AH∥BC，
∴△BCE∽△HDE，
∴CE：DE=BC：DH，
∴CE：DE=BC：DB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC：BD=1：√(2)．
∴CE：DE=1：√(2)，
∴CE：DE的值为(√(2))/(2)．