已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O

Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE²=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为(5)/(2)，sinA=(3)/(5)，求BH的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，
∴

BE

=

CE

，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴(CE)/(EH)=(EA)/(CE)，
∴CE²=EH•EA；

（3） 连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为(5)/(2)，sin∠BAE=(3)/(5)，
∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×(3)/(5)=3，
∴EA=√(AB2-BE2)=4，
∵

BE

=

CE

，
∴BE=CE=3，
∵CE²=EH•EA，
∴EH=(9)/(4)，
∴在Rt△BEH中，BH=√(BE2+EH2)=√(32+((9)/(4))2)=(15)/(4)．