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如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.
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如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长DC到F,使CF=BD,连接AF,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴AD=AF,
又∵∠ADB=60°,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF,
∵AD=AE+DE,DF=DB+BC+CF,
又∵DE=DB,且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形.
∴DE=BE=DB=CF,
∴AE+DE=BE+BC+DE,
∴AE=BE+BC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中,
|
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴AD=AF,
又∵∠ADB=60°,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF,
∵AD=AE+DE,DF=DB+BC+CF,
又∵DE=DB,且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形.
∴DE=BE=DB=CF,
∴AE+DE=BE+BC+DE,
∴AE=BE+BC.
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