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(2014•本溪)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,延长CA到O,使AO=AC,以O为圆心,OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D,连接CD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=4,求图中阴影部分
题目详情
(2014•本溪)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,延长CA到O,使AO=AC,以O为圆心,OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D,连接CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,
∵∠BCA=90°,∠B=30°,
∴∠OAD=∠BAC=60°,
∵OD=OA,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OA=AC,∠ODA=∠O=60°,
∴∠ADC=∠ACD=
∠OAD=30°,
∴∠ODC=60°+30°=90°,
即OD⊥DC,
∵OD为半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵AB=4,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴OD=OA=AC=
AB=2,
由勾股定理得:CD=
=
=2
,
∴S阴影=S△ODC-S扇形AOD=
×2×2
-
=2
-
π.
∵∠BCA=90°,∠B=30°,
∴∠OAD=∠BAC=60°,
∵OD=OA,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OA=AC,∠ODA=∠O=60°,
∴∠ADC=∠ACD=
1 |
2 |
∴∠ODC=60°+30°=90°,
即OD⊥DC,
∵OD为半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵AB=4,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴OD=OA=AC=
1 |
2 |
由勾股定理得:CD=
OC2−OD2 |
42−22 |
3 |
∴S阴影=S△ODC-S扇形AOD=
1 |
2 |
3 |
60π×22 |
360 |
3 |
2 |
3 |
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