已知：在⊿ABC中BD、CE是高,在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB,求证：MA⊥NA.

Question

已知：在⊿ABC中BD、CE是高,在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB,求证：
MA⊥NA.

Answer 1

解析如下：
∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）,
∴∠ABD+∠BAC=90°,∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义）,
∴∠ABD=∠ACE（等量代换）,
又∵BM=AC,CN=AB（已知）,
∴△ABM≌△NCA（SAS）,
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）．
可得∠CAN=∠M（全等三角形对应角相等）,
∵BD⊥AC（已知）,即∠M+∠CAM=90°（直角三角形两锐角互余）,
∴∠CAN+∠CAM=90°（等量代换）,即∠NAM=90°,
∴AM⊥AN（垂直定义）．