（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．

Question

（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=(1)/(2)∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=(√(5))/(5)，求BC和BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=(1)/(2)∠CAB．
∵∠CBF=(1)/(2)∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=(√(5))/(5)，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=(√(5))/(5)，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=√(5)，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2√(5)，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√(AB2−BE2)=2√(5)，
∴sin∠2=(AE)/(AB)=

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作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．

名师点评

本题考点：

切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评：

本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

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