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如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.
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如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
求证:四边形AFCE是菱形.
▼优质解答
答案和解析
方法一:∵AE∥FC.
∴∠EAC=∠FCA.(2分)
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.(5分)
∴EO=FO.
又EF⊥AC,
∴AC是EF的垂直平分线.(8分)
∴AF=AE,CF=CE,
又∵EA=EC,
∴AF=AE=CE=CF.
∴四边形AFCE为菱形.(10分)
方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分)
∴AE=CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.(8分)
又∵EF是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,
∴四边形AFCE是菱形.(10分)
方法三:同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)
又EF⊥AC,(9分)
∴四边形AFCE为菱形.(10分)
∴∠EAC=∠FCA.(2分)
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.(5分)
∴EO=FO.
又EF⊥AC,
∴AC是EF的垂直平分线.(8分)
∴AF=AE,CF=CE,
又∵EA=EC,
∴AF=AE=CE=CF.
∴四边形AFCE为菱形.(10分)
方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分)
∴AE=CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.(8分)
又∵EF是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,
∴四边形AFCE是菱形.(10分)
方法三:同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)
又EF⊥AC,(9分)
∴四边形AFCE为菱形.(10分)
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