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将△ABC的每一边4等分,过各分点作边的平行线,在所得下图中有多少个平行四边形?
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将△ABC的每一边4等分,过各分点作边的平行线,在所得下图中有多少个平行四边形?
▼优质解答
答案和解析
将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方;②尖角在左下、右上方;③尖角在左上、右下方.
①尖角在上、下方的平行四边形有:6+3+3+1+1+1=15(个);
同理,第②、③类也分别含15个,
故上述三类平行四边形共有:15×3=45(个).
答:图中一共有45个平行四边形.
[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合;反过来,BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形,也就是说,边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多.
由于BC上有5个交点,其中可构成5个4点组;10个3点组,即边不平行于BC的平行四边形有15个.
同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行.
由此可知,共有45个平行四边形.
①尖角在上、下方的平行四边形有:6+3+3+1+1+1=15(个);
同理,第②、③类也分别含15个,
故上述三类平行四边形共有:15×3=45(个).
答:图中一共有45个平行四边形.
[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合;反过来,BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形,也就是说,边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多.
由于BC上有5个交点,其中可构成5个4点组;10个3点组,即边不平行于BC的平行四边形有15个.
同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行.
由此可知,共有45个平行四边形.
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