（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q．求证：AP=BQ．（2）在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于点D，请画出图

Question

（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q．求证：AP=BQ．
（2）在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于点D，请画出图形，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵在等边△ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵PQ∥AC，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∵CQ∥AB，
∴∠PCQ=∠ABC=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴CP=CQ，
在△ACP与△BQC中，

AC=BC

∠ACB=∠BCQ

CP=CQ

，
∴△ACP≌△BQC，
∴AP=BQ；

（2）AD=BD+CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵CQ∥AB，
∴∠QCP=∠ABC=60°，
同理，∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴CQ=CP，
在△BCQ与△ACP中，

BC=AC

∠BCQ=∠ACB

CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP，
∴∠CBQ=∠CAP，
在AP上取点E，使AE=BD，
在△BCD与△ACE中，

BC=AC

∠CBQ=∠CAP

BD=AE

，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BCE+∠BCD=∠ECD=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AD=AE+ED=BD+CD．