命题p：已知“a-1＜x＜a+1：”是“x2-6x＜0”的充分不必要条件；命题q：∀x∈（-1，+∞），x+4x+1＞a恒成立．如果p为真命题，命题p且q为假，求实数a的取值范围．

Question

命题p：已知“a-1＜x＜a+1：”是“x²-6x＜0”的充分不必要条件；命题q：∀x∈（-1，+∞），x+(4)/(x+1)＞a恒成立．如果p为真命题，命题p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵p为真命题，命题p且q为假
∴p真q假
∵x²-6x＜0，
∴0＜x＜6
∴命题p为真，即“a-1＜x＜a+1”是“x²-6x＜0”的充分不必要条件得到

a−1≥0

a+1≤6

即1≤a≤5
又∵若命题q为真，q：∀x∈（-1，+∞），x+(4)/(x+1)＞a恒成立
那么：x+1＞0，y=x+(4)/(x+1)=（x+1）+(4)/(x+1)-1≥2√((x+1)•(4)/(x+1))−1＝3（当且仅当x+1＝(4)/(x+1)即x=1时取“=”号）
∴∀x∈(−1，+∞)，x+(4)/(x+1)＞a恒成立⇔3＞a
依题意p为真，p且q为假，则q为假
则有1≤a≤5．且a≥3，得到3≤a≤5
∴a的取值范围为[3，5]