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已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.
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已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
函数y=cx在R上单调递减⇔0<c<1.
不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1.
∵x+|x-2c|=
∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔2c>1⇔c>
.
如果P正确,且Q不正确,则0<c≤
.
如果P不正确,且Q正确,则c>1.
∴c的取值范围为(0,
]∪(1,+∞).
不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1.
∵x+|x-2c|=
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∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔2c>1⇔c>
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如果P正确,且Q不正确,则0<c≤
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如果P不正确,且Q正确,则c>1.
∴c的取值范围为(0,
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