已知命题p：k2-8k-20≤0，命题q：方程x24−k+y21−k=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围

Question

已知命题p：k²-8k-20≤0，命题q：方程(x2)/(4−k)+(y2)/(1−k)=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得

4−k＞0

k−1  ＞0

，解得1＜k＜4
∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（5分）
（Ⅱ）当命题p为真时，由k²-8k-20≤0解得-2≤k≤10…（7分）
由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题        …（8分）
当命题p为真、命题q为假时，则

−2≤k≤10

k≤1或k≥4

，
解得-2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）
当命题p为假、命题q为真时，则

k＜−2或k＞10

1＜k＜4

，k无解．…（12分）
∴实数k的取值范围是-2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）