在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（(sinA)/(cosA) + (sinC)/(cosC)）=(sinAsinC)/(cosAcosC)
∴sinB•(sinAcosC+sinCcosA)/(cosAcosC)=(sinAsinc)/(cosAcosC)
∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，
所以a，b，c成等比数列．
（II）若a=1，c=2，则b²=ac=2，
∴cosB＝(a2+c2−b2)/(2ac)＝(3)/(4)，
∵0＜B＜π
∴sinB=√(1−cos2B)＝  (√(7))/(4)
∴△ABC的面积S＝(1)/(2)acsinB＝(1)/(2)×1×2×(√(7))/(4)＝(√(7))/(4)．