在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=π6，CD=1，求c的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD= (π)/(6) ，CD=1，求c的值．

Answer 1

（Ⅰ）方法一：
∵ (a)/(sinA) =(b)/(sinB) =(c)/(sinC) ，
∴ (a)/(b) =(sinA)/(sinB) ，(c)/(b) =(sinC)/(sinB) ．
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴ (2(sinA)/(sinB) -(sinC)/(sinB) )cosB=cosC ．
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴ cosB=(1)/(2) ．
∵B∈（0，π），∴ B=(π)/(3) ．
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴ (2a-c)(a2 + c2 - b2)/(2ac) =b(a2 + b2 - c2)/(2ab) ，
化简得 a ² +c ² -b ² =ca，
∴ cosB=(a2 + c2 - b2)/(2ac) =(1)/(2) ，
∵B∈（0，π），∴ B=(π)/(3) ，
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中， (CD)/(sin∠CAD) =(AD)/(sinC) ，(BD)/(sin∠BAD) =(AD)/(sinB) ．
由（Ⅰ）知： B=(π)/(3) ．
∵点D为BC边的中点， ∠CAD=(π)/(6) ，∴∠ABC=π- -(π)/(3) -(π)/(6) -C = (π)/(2) -C ，
∴ (1)/(sin(π)/(6)) =(AD)/(sinC) ，(1)/(sin((π)/(2)-C)) =(AD)/(sin(π)/(3)) ，
化简得 sin2C=(3)/(2) ，
∵ C∈(0，(π)/(2) ) ，∴2C∈（0，π），
∴2C= (π)/(3) 或 (2π)/(3) ，即 C=(π)/(3) 或 C=(π)/(6) ，
当 C=(π)/(3) 时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；
当 C=(π)/(6) 时， ∠BAD=(π)/(2) -(π)/(6) =(π)/(3) ，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．
综上得，c=2或c=1．